Question

對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為<x>
即：當n為非負整數時，如果，則<x>=n，
如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
試解決下列問題：
（1）填空：①<π>=____（π為圓周率）；
②如果<2x-1>=3，則實數x的取值范圍為____；
（2）①當；m為非負整數時，求證：<x+m>=m+<x>；
②舉例說明不恒成立；
（3）求滿足的所有非負實數x的值；
（4）設n為常數，且為正整數，函數y=x²-x+的自變量x在n≤x≤n+1范圍內取值時，函數值y為整數的個數記為a；滿足的所有整數k的個數記為b，求證：a=b=2n。

Answer 1

解：（1）①3；②；
（2）①證明：
設<x>=n，
則n-≤x＜n+，n為非負整數；
又（n+m）-≤x+m＜（n+m）+，且m+n為非負整數，
∴<x+m>=n+m=m+<x>；
②舉反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2，
而<0.6+0.7>=<1.3>=1，
∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>，
∴<x>+<y>=<x+y>不一定成立；
（3）作y=<x>，y=的圖象，如圖

y=<x>的圖象與y=圖象交于點（0，0）、、，
∴x=0，；
（4）∵函數y=x²-x+=（x-）²，n為整數，
當n≤x＜n+1時，y隨x的增大而增大，
∴（n-）²≤y＜（n+1-）²，
即（n-）²≤y＜（n+）²，①
∴n²-n+≤y＜n²+n+，
∵y為整數，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n個y，
∴a=2n②，
則，③
比較①，②，③得：a=b=2n。