Question

【題目】如圖所示，將△ABC沿直線BC方向平移△DEF的位置，G是DE上一點，連接AG，過點A、D作直線MN．

（1）求證：∠AGE=∠GAD+∠ABC；
（2）若EDF=∠DAG，∠CAG+∠CEG=180°，判斷AG與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：由平移的性質(zhì)得：△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，AB∥DE，

∴四邊形ABED為平行四邊形，

∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，

∴∠ADG=∠DEF，

∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，

∵∠AGE為△ADG的外角，

∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC

（2）解：AG⊥DE，理由為：

由平移的性質(zhì)得到∠EDF=∠BAC，

∵∠EDF=∠DAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB∥DE，

∴∠ABC+∠BEG=180°，

∵∠CAG+∠CEG=180°，

∴∠ABC=∠CAG，

∵M(jìn)N∥BC，∴∠ABC=∠MAB，

∴∠MAB=∠CAG，

∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，

∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAG+∠AGD=90°，

則AG⊥DE．

【解析】（1）利用平移的性質(zhì)得到AB與DE平行且相等，得到四邊形ABED為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對角相等，利用外角性質(zhì)即可得證；（2）AG垂直與DE，理由為：由平移的性質(zhì)得到∠EDF=∠BAC，根據(jù)∠EDF=∠DAG，等量代換得到∠BAC=∠DAG，由AB與DE平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到一對角互補(bǔ)，等量代換得到∠ABC=∠CAG，利用等式的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)即可得證．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)，以及對多邊形內(nèi)角與外角的理解，了解多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°．