Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y軸于M，

（1）求點C的坐標；

（2）連接AM，求△AMB的面積；

（3）在x軸上有一動點P，當PB+PM的值最小時，求此時P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標是（﹣1，1）；（2）；（3）點P的坐標為（1，0）．

【解析】

（1）作CD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，證明≌，根據全等三角形的性質得到CD＝AE，AD＝BE，求出點C的坐標；

（2）利用待定系數法求出直線BC的解析式，得到OM的長，根據梯形的面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案；

（3）根據軸對稱的最短路徑問題作出點P，求出直線B的解析式，根據x軸上點的坐標特征求出點P的坐標．

解：（1）如圖，作CD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，

∴∠CAD+∠DCA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠ACD，

在和中，

，

∴≌（AAS），

∴CD＝AE，AD＝BE，

∵A（2，0）、B（3，3），

∴OA＝2，OE＝BE＝3，

∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，

∴C的坐標是（﹣1，1）；

（2）如圖，作BE⊥x軸于E，

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∵B點的坐標為（3，3），C點的坐標是（﹣1，1），

∴，

解得，，

∴直線BC的解析式為y＝x+，

當x＝0時，y＝，

∴OM＝，

∴的面積＝梯形MOEB的面積﹣的面積﹣的面積

＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3

＝；

（3）如圖，作M關于x軸的對稱點（0，﹣），連接B，交x軸于點P，此時PB+PM=PB+P=B的值最小，

設直線B的解析式為y＝mx+n，

則，

解得，，

∴直線B的解析式為y＝x﹣，

點P在x軸上，當y＝0時，x＝1，

∴點P的坐標為（1，0）．