Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x+2向下平移1個單位后，得到直線l2，l2交x軸于點A，點P是直線l1上一動點，過點P作PQ∥y軸交l2于點Q

（1）求出點A的坐標；

（2）連接AP，當△APQ為以PQ為底邊的等腰三角形時，求點P和點Q的坐標；

（3）點B為OA的中點，連接OQ、BQ，若點P在y軸的左側，M為直線y＝﹣1上一動點，當△PQM與△BOQ全等時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)；（2）P(3，)，Q(3，﹣)；（3）M(﹣1，﹣1)或(﹣1，8)

【解析】

（1）求出直線l2的解析式為y＝﹣x+1，即可求A的坐標；

（2）設點P（x，﹣x+2），Q（x，﹣x+1），由AQ＝AP，即可求P點坐標；

（3）設P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），則Q（n，﹣n+1），可求出BQ＝，OQ＝，PM＝，QM＝，①當△PQM≌△BOQ時，PM＝BQ，QM＝OQ，結合勾股定理，求出m；②當△QPM≌△BOQ時，有PM＝OQ，QM＝BQ，結合勾股定理，求出m即可．

解：（1）∵直線l1：y＝﹣x+2向下平移1個單位后，得到直線l2，

∴直線l2的解析式為y＝﹣x+1，

∵l2交x軸于點A，

∴A（2，0）；

（2）當△APQ為以PQ為底邊的等腰三角形時，

∴AQ＝AP，

∵點P是直線l1上一動點，

設點P（x，﹣x+2），

∵過點P作PQ∥y軸交l2于點Q

∴Q（x，﹣x+1），

∴（﹣x+2）2＝（﹣x+1）2，

∴x＝3，

∴P（3，），Q（3，﹣）；

（3）∵點B為OA的中點，

∴B（1，0），

∴PQ＝BO＝1，

設P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），則Q（n，﹣n+1），

∴BQ＝，OQ＝，

PM＝，QM＝，①

∵△PQM與△BOQ全等，

①當△PQM≌△BOQ時，

有PM＝BQ，QM＝OQ，

＝，＝，

∴n＝2m﹣2，

∵點P在y軸的左側，

∴n＜0，

∴m＜1，

∴m＝﹣1，

∴M（﹣1，﹣1）；

②當△QPM≌△BOQ時，

有PM＝OQ，QM＝BQ，

＝，＝，

∴n＝﹣m，

∵點P在y軸的左側，

∴n＜0，

∴m＞2，

∴m＝8，

∴M（﹣1，8）；

綜上所述，M（﹣1，﹣1）或M（﹣1，8）．1：y＝﹣x+2向下平移1個單位后，得到直線l2，