Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O(如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉．

(1)　當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；

(2)　如果拋物線(a≠0)的對稱軸經過點C，請你探究：

①　當，，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；

②　設b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）①A，B兩點都不在這條拋物線上

②存在．m的值是1或-1

【解析】解：(1)　 ∵　點O是AB的中點，　∴　．   ……1分

設點B的橫坐標是x(x>0)，則，                    ……1分

解得　，(舍去)．

∴　點B的橫坐標是．                                         ……2分

(2)　①　當，，時，得　　……(＊)

．                                         ……1分

以下分兩種情況討論．

情況1：設點C在第一象限(如圖甲)，則點C的橫坐標為，……1分

由此，可求得點C的坐標為(，)，  ……1分

點A的坐標為(，)，

∵　A，B兩點關于原點對稱，

∴　點B的坐標為(，)．

將點A的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；

將點B的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標．

∴　在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上．                        　……2分

情況2：設點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標為(，-)，

點A的坐標為(，)，點B的坐標為(，)．

經計算，A，B兩點都不在這條拋物線上．            　              ……1分

(情況2另解：經判斷，如果A，B兩點都在這條拋物線上，那么拋物線將開口向下，而已知的拋物線開口向上．所以A，B兩點不可能都在這條拋物線上)

②　存在．m的值是1或-1．                                       ……2分

(，因為這條拋物線的對稱軸經過點C，所以-1≤m≤1．當m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上．因此當m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上)