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如圖,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D為等腰Rt△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.
(1)求證:DE平分∠BDC;
(2)連接BE,設DC=a,求BE的長.

【答案】分析:(1)先根據等腰直角三角形的性質及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°,則AD=BD,再證明CD是邊AB的垂直平分線,得出∠ACD=∠BCD=45°,然后根據三角形外角的性質求出∠CDE=∠BDE=60°即可;
(2)先由三角形內角和定理及∠ACB=90°得出∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°,又由CE=AC=BC,證明△BCE是等邊三角形,則所求BE的長即轉化為求AC的長;再解斜△ACD,為此,過D作DM⊥AC于點M,作∠ADN=∠CAD=15°,交AC于N.分別求出MC=a,NM=a,AN=a,則AC=AN+NM+MC可求.
解答:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分線上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分線上,
即直線CD是AB的垂直平分線,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
∴∠CDE=∠BDE,
即DE平分∠BDC;

(2)∵∠CAE=∠CEA=15°,
∴AC=CE,∠ACE=150°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°,
∵AC=CE,AC=BC,
∴CE=BC,
∴△BCE是等邊三角形,
∴BE=BC=AC.
如圖,在△ACD中,過點D作DM⊥AC于點M,作∠ADN=∠CAD=15°,交AC于N.
在Rt△CDM中,∵∠CMD=90°,∠C=45°,DC=a,
∴DM=MC=a.
在Rt△DMN中,∵∠NMD=90°,∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°,DM=a,
∴DN=2DM=a,NM=DM=a.
∵∠ADN=∠CAD=15°,
∴AN=DN=a,
∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a,
∴BE=AC=a.
點評:此題主要考查等腰直角三角形的性質,等邊三角形的判定與性質,三角形內角和定理與外角的性質,線段垂直平分線的判定與性質,解三角形等知識,有一定難度.其中(2)運用轉化思想,將所求BE的長轉化為求AC的長;將解斜△ACD轉化為解直角△CDM與△DMN是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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(1)若n=3,則
CE
DE
=
 
AE
DE
=
 

(2)若n=2,求證:AF=2FC;
(3)當n=
 
,F為AC的中點(直接填出結果,不要求證明).

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(1)求證:AD=CD;
(2)求AE的長.

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如圖,已知等腰Rt△ABC直角邊長為1,以它的斜邊AC為直角邊畫第二個等腰Rt△ACD,再以斜邊AD為直角邊畫第三個Rt△ADE…,依此類推,AC長為
2
,AD長為2,第3個等腰直角三角形斜邊AE長=
2
2
2
2
,第4個等腰三角形斜邊AF長=
4
4
,則第n個等腰直角三角形斜邊長=
2
n
2
n

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