Question

如圖，點A（0，4），點B（3，0），點P為線段AB上的一個動點，作PM⊥y軸于點M，作PN⊥x軸于點N，連接MN，當點P運動到什么位置時，MN的值最小？最小值是多少？求出此時PN的長．

Answer 1

分析：首先連接OP，易得四邊形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，當OP⊥AB時OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理與三角形的面積的求解，可求得MN的長；
又由在Rt△POB中，根據勾股定理可得：BP=

9

5

，與S_△OBP=

1

2

OP•BP=

1

2

OB•PN，繼而求得PN的長．

解答：解：如圖，連接OP．
由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．
∴四邊形ONPM是矩形．
∴OP=MN，
在Rt△AOB中，當OP⊥AB時OP最短，即MN最小．
∵A（0，4），B（3，0），即AO=4，BO=3，
根據勾股定理可得AB=5．
∵S_△AOB=

1

2

AO•BO=

1

2

AB•OP，
∴OP=

12

5

．
∴MN=

12

5

．
即當點P運動到使OP⊥AB于點P時，MN最小，最小值為

12

5

；
在Rt△POB中，根據勾股定理可得：BP=

9

5

，
∵S_△OBP=

1

2

OP•BP=

1

2

OB•PN．
∴PN=

36

25

．

點評：此題考查了矩形的判定與性質、勾股定理與三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．