Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，-3），
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為9，若存在，求出點D的坐標；若不存在．說明理由；
（3）在（2）的情況下，P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于Q點，求線段PQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）設D（a，a²-2a-3），過點D，作DE⊥x軸于E，利用S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，求出a的值即可，進而求出D點坐標即可；
（3）根據（2）中D點坐標，進而表示出PQ的長度，利用二次函數的最值求出即可．
解答：解：（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點的坐標，
代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
故拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在，
如圖1，設D（a，a²-2a-3），過點D 作DE⊥x軸于E
則S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，
=×3×1+a（-a²+2a+3+3）+（-a²+2a+3）（3-a），
=，
由S_{四邊形ACDB}=9得，
=9，
解得a₁=2，a₂=1，
當a=2，a²-2a-3=-3，
當a=1，a²-2a-3=-4，
則D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于點D存在兩種情形，則也有兩種情形
①如圖2，當D（2，-3）時，A（-1，0），
代入y=ax+b得：，
解得：，
故直線AD的解析式為：y=-x-1，
可設P（m，-m-1）；則Q（m，m²-2m-3），
則PQ=-（m²-2m-3）-m-1=-m²+m+2=-（m-） ²+，
此時PQ的最大值為，
②如圖3，當D（1，-4）時，可求得直線AD的解析式為：y=-2x-2，
可設P（m，-2m-2）；則Q（m，m²-2m-3），
則PQ=-（m²-2m-3）-2m-2=-m²+1，
此時PQ的最大值為1．
點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式以及圖形面積和二次函數的最值問題，利用四邊形面積得出a的值是解題關鍵．