Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
（1）把△ABC沿底邊BC折疊，得到△DBC，則四邊形ABDC是什么四邊形，為什么？
（2）把△ABC沿腰AB折疊，得到△AEB，對于四邊形CAEB，（1）中結論成立嗎？

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的兩個底角相等、折疊的性質推知四邊形的對邊AB=CD且AB∥CD，即四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用折疊的對應邊相等可以推知鄰邊相等的平行四邊形ABCD是菱形‘
（2）（1）中的結論不一定成立．假設四邊形AEBC是菱形，那么BC=AC，而AB=AC，則三角形ABC是等邊三角形與已知條件不符．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的兩個底角相等）；
又∵由反折的性質知，∠ACB=∠DCB，
∴∠ABC=DCB（等量代換），
∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）；
又∵AC=AB=CD，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形），
∴?ABCD是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

（2）（1）中的結論不一定成立，即四邊形CAEB不一定是菱形．
理由：假設四邊形CAEB是菱形．則AC=BC；
∵AB=AC（已知），
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形；
∴當△ABC是等邊三角形時，四邊形CABE是菱形；
當等腰△ABC的腰與底邊不相等時，四邊形CAEB不是菱形，
∴四邊形CAEB不一定是菱形．

點評：本題考查了翻折變換（折疊問題）．翻折的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．