Question

“假日旅樂園”中一種新型水上滑梯如圖，其中線段PA表示距離水面（x軸）高度為5m的平臺（點P在y軸上）．滑道AB可以看作反比例函數圖象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函數圖象的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線BCD的頂點，且點B到水面的距離BE=2m，點B到y軸的距離是5m．當小明從上而下滑到點C時，與水面的距離CG=

3

2

m，與點B的水平距離CF=2m．
（1）求反比例函數的解析式及其自變量的取值范圍．
（2）求二次函數的解析式及其自變量的取值范圍．
（3）小明從點B滑水面上點D處時，試求他所滑過的水平距離d．

Answer 1

分析：（1）在題中，BE=2，B到y軸的距離是5，即反比例函數圖象上一點的橫坐標和縱坐標都已告知，則可求出比例系數k；
（2）由（1）知，拋物線頂點坐標已知，可列兩個關系式，又C點坐標已知則可列一個關于a、b、c的方程組，進而求出解析式，求出點D的橫坐標，繼而可得出自變量的取值范圍；
（3）用D的橫坐標減去點E的橫坐標，即可求出水平距離d．

解答：解：（1）∵BE=2，B到y軸的距離是5，
∴B點坐標為（5，2），
若設反比例解析式為y=

k

x

，
則k=10，
∴y=

10

x

，
當y=5時，x=2，
即A點坐標為（2，5），
∴自變量x的取值范圍2≤x≤5；

（2）設二次函數解析式為y=ax²+bx+c，
由題意可知，頂點坐標為（5，2），C點坐標為（7，

3

2

），

- b 2a =5 4ac-b2 4a =2 49a+7b+c= 3 2

，
解得，

a=- 1 8 b= 5 4 c=- 9 8

，
∴二次函數的解析式為：y=-

1

8

x²+

5

4

x-

9

8

，
當y=0時，x₁=9，x₂=1（舍去），
即D（9，0），
∴自變量的取值范圍是：5≤x≤9；

（3）由題可知，ED=9-5=4（m），
即小明從點B滑水面上點D處時，他所滑過的水平距離d=4m．

點評：此題主要考查了反比例函數和二次函數的基本性質和概念，以及用待定系數法求函數的解析式，難易程度適中．