Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕CE＝5，且．
【小題1】判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
【小題2】求直線CE與x軸交點P的坐標；
【小題3】 是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】與相似．--------------------------------------- 1分
理由如下：
由折疊知，，
，
又，
．   3分
【小題2】，設，則．由勾股定理得．
．--------------- 4分

由（1），得，
，
．------------------------------------------------ 5分
在中，，
，解得．
，點的坐標為，
點的坐標為，----------------------------------------- 6分
設直線的解析式為，
解得
，則點的坐標為．  8分
【小題3】滿足條件的直線有2條：，．------------- 12分
下圖中的直線DB與直線DM即為所求．

注：第⑶題如何嚴密思考？靠碰運氣找到兩條直線，顯然不具有一般性，也不能從嚴格意義上說明是否還存在其他符合要求的直線．下面的思考方法是非常精彩的：
首先說明一個簡單事實：三條直線兩兩相交，不經過同一點，則三條直線能夠圍成三角形．當平行移動其中一條直線時（移動后的直線不經過另兩條直線的交點），不改變圍成三角形的形狀（即始終相似）．

基于上述事實，將y軸平移至點D，交直線CE于點Q，直線CE即直線PQ，則原問題轉化為：
如下圖，△DQP中，∠D＝90°．經過點D的直線l，斜邊所在的直線，與兩直角邊分別構成的兩個三角形相似，這樣的直線l有幾條？

顯然，當直線l經過△DQP內部時，只有一條；當直線在△DQP外部時，也只有一條．

解析