Question

如圖，已知A（-1，0），E（0，-

2

2

），以點A為圓心，以AO長為半徑的圓交x軸于另一點B，過點B作BF∥AE交⊙A于點F，直線FE交x軸于點C．
（1）求證：直線FC是⊙A的切線；
（2）求點C的坐標及直線FC的解析式；
（3）有一個半徑與⊙A的半徑相等，且圓心在x軸上運動的⊙P．若⊙P與直線FC相交于M，N兩點，是否存在這樣的點P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AF，由于AE∥BF，故∠1=∠3，∠4=∠2，又∵AB=AF，∴∠3=∠4∴∠1=∠2又∵AO=AF，AE=AE
∴△AOE≌△AFE∴∠AFE=∠AOE=90°∴FC是⊙O的切線．
（2）方法由（1）知EF=OE=

2

2

∵AE∥BF，∴

AC

AB

=

CE

EF

，∴

OC+1

1

=

CE

2 2

∴CE=

2

2

CO+

2

2

①（6分）∵OE²+OC²=CE²，∴CE²=（

2

2

）²+CO²②（7分）由①②解得OC=0（舍去）或OC=2，∴C（2，0）（8分）∵直線FC經過E（0，-

2

2

），C（2，0）兩點，∴直線FC的解析式為y=

2

4

x-

2

2

．

解答：（1）證明：連接AF，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠3，∠4=∠2，
又∵AB=AF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
又∵AO=AF，AE=AE，
∴△AOE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∴FC是⊙O的切線．

（2）解：方法①由（1）知EF=OE=

2

2

，
∵AE∥BF，
∴

AC

AB

=

CE

EF

，
∴

OC+1

1

=

CE

2 2

，
∴CE=

2

2

CO+

2

2

①；
又∵OE²+OC²=CE²，
∴CE²=（

2

2

）²+CO²②；
由①②解得OC=0（舍去）或OC=2，
∴C（2，0），
∵直線FC經過E（0，-

2

2

），C（2，0）兩點，
設FC的解析式：y=kx+b，
∴

2k+b=0 b=- 2 2

，
解得

k= 2 4 b=- 2 2

，
∴直線FC的解析式為y=

2

4

x-

2

2

．
方法②：
∵CF切⊙A于點F，
∴∠AFC=∠EOC=90°，
又∠ACF=∠OCE，
∴△COE∽△CFA，
∴

OE

AF

=

CO

CF

，
∴

2 2

1

=

CO

CE+ 2 2

，
即CE=

2

CO-

2

2

①；
又OE²+OC²=CE²，
∴CE²=（

2

2

）²+CO²②；
由①②解得CO=0（舍去）或CO=2；
∴C（2，0）
（求FC的解析式同上）．
方法③∵AE∥BF，
∴

AC

AB

=

CE

EF

，
∴

OC+1

1

=

CE

2 2

，
∴CE=

2

2

CO+

2

2

①，
∵FC切⊙A于點F，
∴∠AFC=∠COE=90°，
∴∠ACE=∠OCE，
∴△COE∽△CFA，
∴

OE

AF

=

CO

CF

，
∴

2 2

1

=

CO

CE+ 2 2

，
∴CE=

2

CO-

2

2

②．
由①②解得：CO=2，
∴C（2，0），
（求FC的解析式同上）．

（3）解：存在：
當點P在點C左側時，若∠MPN=90°，過點P作PE⊥MN于點E，
∵∠MPN=90°，PM=PN，
∴PE=PM×cos45°⁼

2

2

，
∵AF⊥FC，
∴PE∥AF，
∴△CPE∽△CAF，
∴

PE

AF

=

CP

CA

，
∴

2 2

1

=

CP

3

，
∴CP=

3 2

2

，
∴PO=

3 2

2

-2，
∴P（2-

3 2

2

，0）．
當點P在點C右側P′時，設∠M′P′N′=90°，過點P′作P′Q⊥M′N′于點Q，則P′Q=

2

2

．
∴P′Q=PE，可知P′與P關于點C中心對稱，根據對稱性得：
∴OP′=OC+CP′=2+

3 2

2

，
∴P′（2+

3 2

2

，0），
∴存在這樣的點P，使得△PMN為直角三角形，P點坐標（2-

3 2

2

，0）或（2+

3 2

2

，0）．

點評：本題是一道綜合性很強的傳統型壓軸題，其難度比較恰當，選拔功能較強，解第3小題時要注意分類討論，這是本題最容易失分的地方．