Question

①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=30°，求∠NMB的大小．
②如果將①中的∠A的度數改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的大小．
③你感到存在什么樣的規律性？試證明．（請同學們自己畫圖）
④將①中的∠A改為鈍角，對這個問題規律性的認識是否需要加以修改？

Answer 1

解：（1）∵∠B=（180°-∠A）=75°，∴∠M=15°；
（2）同理得，∠M=35°；
（3）規律是：∠M的大小為∠A大小的一半，即：AB的垂直平分線與底邊BC所夾的銳角等于∠A的一半．
證明：設∠A=α，
則有∠B=（180°-α），∠M=90°-（180°-α）=α．
（4）改為鈍角后規律成立．上述規律為：等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊相交所成的銳角等于頂角的一半．
分析：（1）根據等腰三角形的兩個底角相等和直角三角形的關系，求出∠M=15°；
（2）直接用（1）中同樣的方法可求得∠M=35°；
（3）用一般的式子把求∠M的過程寫下來即為規律；
（4）根據等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊相交所成的銳角等于頂角的一半，可判斷改為鈍角成立．
點評：本題考查線段垂直平分線的性質、直角三角形性質及等腰三角形的性質．一般要用到垂直平分線的性質的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．從而結合圖形找到這對相等的線段是解決問題的關鍵．