Question

已知關于x的方程①x²+（2k-1）x+（k-2）（k+1）=0和②kx²+2（k-2）x+k-3=0．
（1）求證：方程①總有兩個不相等的實數根；
（2）已知方程②有兩個不相等的實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證：方程①總有兩個不相等的實數根，就是證明判別式△恒大于0；
（2）方程②有兩個“不相等”的實數根，即根的判別式“△≥0”？，即可得到一個關于k的不等式，從而確定k的取值范圍．
解答：（1）證明：對于①a=1，b=2k-1，c=（k-2）（k+1）．
∴△=b²-4ac=9＞0．
∴方程①總有兩個不相等的實數根．

（2）解：對于方程②a=k，b=2（k-2），c=k-3．
∴△=b²-4ac=16-4k＞0．
∴k＜4，且k≠0．
點評：此題有一定的難度，用到一元二次方程的根的判別式，又用到根與系數的關系和求根公式，計算時要細心，做到條理清晰，計算準確．