Question

如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（-3，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC．求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為（-3，0），根據二次函數的對稱性，即可求得B點的坐標；
（2）①a=1時，先由對稱軸為直線x=-1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數的解析式為y=x²+2x-3，得到C點坐標，然后設P點坐標為（x，x²+2x-3），根據S_△POC=4S_△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
②先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設Q點坐標為（x，-x-3），則D點坐標為（x，x²+2x-3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值．
解答：解：（1）∵對稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關于直線x=-1對稱，
∵點A的坐標為（-3，0），
∴點B的坐標為（1，0）；

（2）①a=1時，∵拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=-1，
∴=-1，解得b=2．
將B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
則二次函數的解析式為y=x²+2x-3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，-3），OC=3．
設P點坐標為（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4．
當x=4時，x²+2x-3=16+8-3=21；
當x=-4時，x²+2x-3=16-8-3=5．
所以點P的坐標為（4，21）或（-4，5）；

②設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（-3，0），C（0，-3）代入，
得，解得，
即直線AC的解析式為y=-x-3．
設Q點坐標為（x，-x-3）（-3≤x≤0），則D點坐標為（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+）²+，
∴當x=-時，QD有最大值．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想．