Question

【題目】尋找神奇點！每條拋物線內都有一個神奇的點F（也叫焦點），還有一條與之配套的直線！（也叫準線），使得拋物線上的每個點到F的距離等于到直線l的距離．如圖，對于拋物線上任意一點D，都有DF＝DH．

根據以上知識，我們來完成以下問題：

（1）因為拋物線是軸對稱圖形，由對稱性可知這個神奇的點F應在拋物線的　 　上，且準線l一定與對稱軸垂直即l⊥MN（對稱軸）．

（2）若準線l與對稱軸MN交于E，MN交拋物線于點P，則PE、PF的數量關系是PE　 　PF（填＞、＝、＜），

（3）求拋物線y＝﹣（x﹣2）2+4的神奇點（焦點）F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸；（2）＝；（3）點F（2，）．

【解析】

（1）拋物線是軸對稱圖形，則點F應該在拋物線的對稱軸上，即可求解；

（2）根據題意中焦點的性質解答即可；

（3）設PF＝c，則點F的坐標和直線l的解析式可用含c的代數式表示，設D（m，），然后根據兩點間的距離公式分別表示出DF2和HD2，根據DF＝DH，可得關于m、c的方程，解方程即可求出c，進而可得結果．

解：（1）拋物線是軸對稱圖形，則點F應該在拋物線的對稱軸上，

故答案為：對稱軸；

（2）∵拋物線上的每個點到F的距離等于到直線l的距離，l⊥MN，∴PE=PF．

故答案為：＝；

（3）如圖，設PF＝c，頂點P（2，4），則點F（2，4﹣c），直線l：y＝c+4，

設D（m，），則DF2＝=，

HD2＝，

∵DF＝DH，∴=，

化簡得：1﹣2c＝2c，解得：c＝，

故點F（2，）．