Question

問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個用足夠長的的細鐵絲制作的直角的頂點D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點D旋轉，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點。
問題探究：（1）在旋轉過程中，
①如圖2，當AD＝BD時，線段DP、DQ有何數量關系？并說明理由。
②如圖3，當AD＝2BD時，線段DP、DQ有何數量關系？并說明理由。
③根據你對①、②的探究結果，試寫出當AD＝nBD時，DP、DQ滿足的數量關系為_______________（直接寫出結論，不必證明）
（2）當AD＝BD時，若AB＝20，連接PQ，設△DPQ的面積為S，在旋轉過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由。

圖1              圖2                 圖3

Answer 1

（1）① DP=DQ  ②DP=2DQ ③DP="nDQ" （2）當DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，    當點P與點A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，

試題分析：此題主要考查了等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定和性質以及二次函數最值求出等知識，熟練利用相似三角形的性質得出對應邊關系是解題關鍵．
（1）①首先利用等腰直角三角形的性質得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，則  ，求出△AMD∽△BND，進而得出答案.
③根據已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，則 ，則AD=nBD，求出即可；
（2）當DP⊥AC時，x最小，最小值是5 .此時，S有最小值；當點P與點A重合時，x最大，最大值為10，分別求出即可．
試題解析：（1）①DP＝DQ     

理由：連接CD，
∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ.
② DP=" 2DQ" 。           
理由：如圖，過點D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分別為M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN="DP:DQ" 。
∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，
∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN。
∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1，
∴DP=2DQ。                 
③DP=NQ。                 
（2）存在，設DQ=x，由（1）①知DP=x，
∴S=1／2xx=1／2x²
，
當DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，  
當點P與點A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，