Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝20cm，BC＝15cm，動點P從點A出發，以每秒4cm的速度沿AB方向運動，到達點B時停止運動．過點P作AB的垂線交斜邊AC于點E，將△APE繞點P順時針旋轉90°得到△DPF．設點P在邊AB上運動的時間為t（秒）．

（1）當點F與點B重合時，求t的值；

（2）當△DPF與△ABC重疊部分的圖形為四邊形時，設此四邊形的面積為S，求S與t的函數關系式；

（3）若點M是DF的中點，當點M恰好在Rt△ABC的內角角平分線上時，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=（0<t≤）；（3）或.

【解析】

（1）由條件可得AP=4t，易證，根據相似三角形的性質可得PE=3t，由旋轉的性質可得PE= PF，然后根據PF+AP=AB建立方程，就可求出t的值．

（2）先用t的代數式表示出DE長及的面積，然后證明，再求出的面積，然后運用相似三角形性質（相似三角形的面積比等于相似比的平方）將的面積用t的代數式表示，就可得到S與t的函數關系式.

（3）設DF交AC于點G，過點M作MH⊥AB于點H，過點M作MN⊥BC于點N，如圖3，先分別用t的代數式表示出MG、MH、MN的長，然后運用角平分線的性質建立等量關系，就可求出t的值.

(1) ∵△APE繞點P順時針旋轉90°得到△DPF,

∴∠D=∠A,∠DFP=∠AEP,∠DPB=∠APE=90°,AP=DP,EP=FP,AE=DF,

∵點F與點B重合，

∴PB=PF,

∴EP=BP,

∵AB=20,AP=4t，

∴EP=BP=20-4t，

∵∠APE=∠ABC=90°,

∴PE∥BC,

∴,

∴,

∵BC=15,AP=4t,AB=20,

∴PE=3t,

∵EP=BP=20-4t,

∴3t=10-4t,

解得：t=,

∴t的值為（秒）；

（2）當與重疊部分的圖形為四邊形時，如下圖：

此時0<t≤，

∵PE∥BC,

∴∠DEG=∠C,

又∵∠D=∠A,

∴,

∴,

∵∠B=90°,AB=20,BC=15,

∴AC=25, ==150,

∵DE=DP-EP=AP-EP=4t-3t=t,

∴,

∴=,

∵===,

∴S=-=-=,

∴S與t的函數關系式為：S=（0<t≤）.

（3）設DF交AC于點G，過點M做MH⊥AB于點H，過點M作MN⊥BC于點N，如下圖：

∵，

∴∠DGE=∠B=90°, ,

∵DE=t，AB=20,AC=25,

∴DG=,

∵∠APE=90°,AP=4t,PE=3t,

∴AE=5t,

∴DF=AE=5t,

∵點M是DF的中點，

∴DM=FM=DF=,

∴MG=DM-DG==,

∵∠MHF=∠DPF=90°,

∴MH∥DP,

∴,

∴,

∴MH=DP=2t,FH=FP=EP=,

∴HB=AB-AP-PH=20-4t-=20-,

∵∠MHB=∠B=∠MNB=90°,

∴四邊形MNBH為矩形，

∴MN=HB=20-,

①當點M在∠A的角平分線上時，

∵MG⊥AC,MH⊥AB,

∴MG=MH,

∴=2t，

解得：t=0（舍去）.

②當點M在∠B的角平分線上時，

∵MN⊥BC,MH⊥AB,

∴MH=MN,

∴2t=20- ，

解得：t= ,

③當點M在∠C的角平分線上時，

∵MG⊥AC,MN⊥BC,

∴MG=MN,

∴=20- ,

解得：t= ，

綜上所述，當點M恰好在的內角角平分線上時，t的值為（秒）或（秒）.