Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD的頂點D在平行四邊形AEFG的邊FG上，平行四邊形AEFG的頂點E在平行四邊形ABCD的邊BC上，CD與EF相交于點H，設△ABE、△ECH、△HFD、△DGA的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，給出下列結論：
①平行四邊形ABCD的面積=平行四邊形AEFG的面積；
②S₁+S₂=S₃+S₄；
③S₃+S₄=平行四邊形AEFG面積的一半；
④S₁=S₂+S₃+S₄．
其中正確結論的序號是    （把所有正確結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

【答案】分析：延長BE，與GF的延長線交于點P，先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再證明△AGD≌△EFP，得出平行四邊形AGFE的面積等于平行四邊形ADPE的面積，又AD∥BP，根據兩平行線之間的距離處處相等得出平行四邊形ABCD的面積等于平行四邊形ADPE的面積，進而得出平行四邊形ABCD的面積等于平行四邊形AEFG面積，判斷①正確；
由①可知，S₁+S₂+S_{四邊形AEHD}=S₃+S₄+S_{四邊形AEHD}，則可判斷②正確，④錯誤；
由△AGD≌△EFP，得出S₄=S_△EFP，則S₃+S₄＜S_△PDE=S_?AEPD，S_?AEPD=S_?AEFG，③錯誤．
解答：解：延長BE，與GF的延長線交于點P．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BP，∠ADG=∠P．
∵四邊形AEFG是平行四邊形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG=EF，
∴∠G=∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四邊形ADPE是平行四邊形．
在△AGD與△EFP中，
，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S₄=S_△EFP，
∴S₄+S_{四邊形AEFD}=S_△EFP+S_{四邊形AEFD}，
即S_?AEFG=S_?ADPE，
又∵?ADPE與?ADCB的一條邊AD重合，且AD邊上的高相等，
∴S_?ABCD=S_?ADPE，
∴平行四邊形ABCD的面積等于平行四邊形AEFG的面積，①正確；
∵平行四邊形ABCD的面積等于平行四邊形AEFG的面積，
∴S₁+S₂+S_{四邊形AEHD}=S₃+S₄+S_{四邊形AEHD}，
∴S₁+S₂=S₃+S₄，②正確；④錯誤；
∵△AGD≌△EFP，
∴S₄=S_△EFP，
∴S₃+S_△EFP+S_△EDH=S_△PDE=S_?AEPD，
∴S₃+S₄＜S_?AEPD，
∵S_?AEPD=S_?ABCD=S_?AEFG，
∴S₃+S₄＜S_?AEFG，③錯誤．
所以正確結論的序號是①②．
故答案為①②．
點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質，平行線的性質，三角形的面積，有一定難度．通過作輔助線，證明四邊形ADPE是平行四邊形，進而得出得出平行四邊形ABCD的面積=平行四邊形AEFG的面積是解題的關鍵．