Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為A（3，-3），與x軸的一個交點為B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P是y軸上一個動點，求使P到A、B兩點的距離之和最小的點P₀的坐標．
（3）設拋物線與x軸的另一個交點為C．在拋物線上是否存在點M，使得△MBC的面積等于以點A、P₀、B、C為頂點的四邊形面積的三分之一？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-3）²-3，依題意有：
a（1-3）²-3=0，a=，
∴該拋物線的解析式為：y=（x-3）²-3=x²-x+．

（2）設B點關于y軸的對稱點為B′，則B′（-1，0）；
設直線AB′的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得；
∴y=-x-；
故P₀（0，-）．

（3）由（1）的拋物線知：
y=x²-x+=（x-1）（x-5），
故C（5，0）；
∵S_{四邊形AP0BC}=S_△AB′C-S_△BB′P0
=×6×3-×2×=；
∴S_△BCM=S_{四邊形AP0BC}=；
易知BC=4，則|y_M|=；
當M的縱坐標為時，x²-x+=，
解得x=3+，x=3-；
當M的縱坐標為-時，x²-x+=-，
解得x=3+，x=3-；
故符合條件的M點有四個，它們的坐標分別是：
M₁（3+，），M₂（3-，），M₃（3+，-），M₄（3-，-）．
分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可將其解析式設為頂點坐標式，然后將B點坐標代入其中，即可求得該拋物線的解析式．
（2）取B點關于y軸的對稱點B′，其坐標易得，那么直線AB′與y軸的交點即為所求的P₀點，可先求出直線AB′的解析式，進而可求出P₀的坐標．
（3）根據拋物線的解析式，易求得C點坐標，進而可由△B′AC、△B′P₀B的面積差求出四邊形AP₀BC的面積，進而可得到△BCM的面積，BC的長已求得，根據其面積可求出M點的縱坐標絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出M點的坐標．
點評：此題考查的知識點有：二次函數解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、函數圖象交點坐標的求法、圖形面積的求法等，綜合性強，難度中上．