Question

在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD，則以下結(jié)論中一定正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形．

A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①EF、FD是直角三角形斜邊上的中線，都等于BC的一半；②可證△ABD∽△ACE；③證明∠EFD=60°．
解答：解：①∵BD、CE為高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF=DF=BC．故此選項(xiàng)正確；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故此選項(xiàng)正確；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等邊三角形．故此選項(xiàng)正確．
故正確的有3個(gè)．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義，熟練利用相關(guān)性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．