Question

如圖，已知二次函數y=-x²+2mx的圖象經過點B（1，2），與x軸的另一個交點為A，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C，過點B作直線BM⊥x軸垂足為點M．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在直線BM上有點P（1，），聯結CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，在坐標軸上是否存在點E，使得以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出所有滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點B（1，2），代入二次函數y=-x²+2mx，得到關于m的方程，求得m的值，從而得到二次函數的解析式；
（2）根據題意可知點A（3，0），C（2，2），P（1，），根據兩點間的距離公式可得PA，PC，AC的長，再根據勾股定理的逆定理即可判斷直線CP與直線CA的位置關系；
（3）分①當點E在x軸上，PE∥CA，②當點E在y軸上，PC∥AE，兩種情況討論即可得到使得以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形的點E的坐標．
解答：解：（1）∵點B（1，2）在二次函數y=-x²+2mx的圖象上，
∴-1²+2m=2
解得m=．
故二次函數的解析式為y=-x²+3x；

（2）直線CP與直線CA的位置關系是垂直．
∵二次函數的解析式為y=-x²+3x，
∴點A（3，0），C（2，2），
∵P（1，），
∴PA²=，PC²=，AC²=5，
∴PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；

（3）假設在坐標軸上存在點E，使得以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形，
∵∠PCA=90°，
則①當點E在x軸上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴=，
∴ME=，
∴E₁（，0）；
②當點E在y軸上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴=，
∴OE=，
∴E₂（0，-）．
即點Q的坐標E₁（，0）、E₂（0，-）時，以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及到：直角梯形的性質、二次函數解析式的確定、兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性質等重要知識點．（3）題中，注意要分類討論，以免漏解．