Question

【題目】如圖，在正方形ABCD 中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B,C重合），CN⊥DM,CN與AB交于點N ，連接OM,ON,MN .下列五個結論：①△CNB≌△DMC ；②△CON≌△DOM ；③△OMN≌△OAD ；④ ；⑤若AB=2，則 的最小值是 ，其中正確結論的個數是 （ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，

∴∠BCN+∠DCN=90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN=90°，

∴∠BCN=∠CDM，

又∵∠CBN=∠DCM=90°，

∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；

根據△CNB≌△DMC，可得CM=BN，

又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM=ON，∠COM=∠BON，

∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，

又∵DO=CO，

∴△CON≌△DOM（SAS），故②正確；

∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，

∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，故③正確；

∵AB=BC，CM=BN，

∴BM=AN，

又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，

∴AN2+CM2=MN2，故④正確；

∵△OCM≌△OBN，

∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，

∴當△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，

設BN=x=CM，則BM=2-x，

∴△MNB的面積=x（2-x）=-x2+x，

∴當x=1時，△MNB的面積有最大值，

此時S△OMN的最小值是1-=，故⑤正確；

綜上所述，正確結論的個數是5個，

故選：D．