Question

如圖，在平面直角坐標中，矩形OABC，OA=4，AB=2，直線與坐標軸交于D，E兩點，設M是AB的中點，P是線段DE上的動點．過P作PH⊥BC，垂足為H，當以PM為直徑的⊙F與BC相切于點N時，梯形PMBH的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：可設P（x，y），連接PN、MN、NF，因為點P在y=-x+上，所以P（x，-x+），根據題意可得PN⊥MN，FN⊥BC，F是圓心，又因N是線段HB的中點，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，利用直徑對的圓周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以=，∴=，這樣就可得到關于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面積的四邊形是一個直角梯形，所以S_PMBH===-+．
解答：解：設P（x，y），連接PN、MN、NF，
∵點P在y=-x+上，
∴P（x，-x+），
依題意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圓心，
∴N是線段HB的中點，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴=，
∴=，
∴x²-12x+14=0，
解得：x=6+（x＞舍去），x=6-，
S_PMBH===-+．
故答案為：-+．
點評：考查了一次函數綜合題，本題屬于一道典型的數形結合的題目，需利用一次函數的解析式結合圓的相關知識才可以解決問題．