Question

（2012•新昌縣模擬）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．取BC邊中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S₁；取BE中點(diǎn)E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四邊形E₁D₁FF₁，它的面積記作S₂．照此規(guī)律作下去，S₂₀₁₂=（　　）

• A．

  3

  22010

• B．

  3

  22012

• C．

  3

  24024

• D．

  3

  24025

Answer 1

分析：先根據(jù)△ABC是等邊三角形可求出△ABC的高，再根據(jù)三角形中位線定理可求出S₁的值，進(jìn)而可得出S₂的值，找出規(guī)律即可得出S₂₀₁₂的值．

解答：解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=1×

3

2

=

3

2

，
∵DE、EF是△ABC的中位線，
∴AF=

1

2

，
∴S₁=

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

8

；
同理可得，S₂=

3

8

×

1

4

；
…
∴S_n=

3

8

×（

1

4

）^n-1；
∴S₂₀₁₂=

3

8

×（

1

4

）²⁰¹¹=

3

24025

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及三角形中位線定理，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．