Question

如圖，⊙O是邊長為1的正方形ABCD的外接圓，P為弧AD上的不同于A、D的任意一點，則PA²+PB²+PC²+PD²的值為（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

Answer 1

【答案】分析：連接AC、BD，先由正方形的性質得出∠ADC=∠BCD=90°，再根據90°的圓周角所對的弦是直徑得出AC與BD是直徑，由直徑所對的圓周角是直角得出∠APC=∠BPD=90°，然后根據勾股定理得出PA²+PC²=AC²，PB²+PD²=BD²，從而求出結果．
解答：解：連接AC、BD．
∵ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC與BD是直徑，
∴∠APC=∠BPD=90°，
∴PA²+PC²=AC²，PB²+PD²=BD²．
又∵正方形ABCD的邊長為1，
∴AC=BD=，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=AC²+BD²=4．
故選B．
點評：本題主要考查了正多邊形與圓，勾股定理，圓周角定理，綜合性較強，難度中等．根據圓周角定理得出∠APC=∠BPD=90°是解題的關鍵．