Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為8cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/秒的速度沿AC方向向終點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)以1cm/秒的速度沿CB方向向終點B運動，過點P、Q分別作邊AB的垂線段PM、QN，垂足分別為點M、N．
設(shè)P、Q兩點運動時間為t秒（0＜t＜4），四邊形MNQP的面積為Scm²．
（1）當點P、Q在運動的過程中，t為何值時，△PCQ是直角三角形？
（2）求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式．
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）假設(shè)△PCQ為直角三角形，
①∵∠C=60°，
∴PC=2CQ
∴8-2t=2t，
解得t=2，
當t=2時，△PCQ是直角三角形；
②當2PC=CQ時，
由PC=2CQ可得：2（8-2t）=t，
解得t=，
∴當t=時，△PCQ是直角三角形；
綜上所述：t=2或時，△PCQ是直角三角形；


（2）根據(jù)題意得，AP=2t，QB=8-t，△APM和△QNB是直角三角形，四邊形MNQP是直角梯形．
在Rt△APM和Rt△QNB中，
所以MN=AB-AM-BN=，，
；

（3）假設(shè)存在某一時刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的，
即S=S_△ABC，，
整理得：t²=8，
解得，（舍去），
答：當時，四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的．
分析：（1）利用當PC=2CQ時以及當2PC=CQ時，△PCQ是直角三角形分別求出即可；
（2）△APM和△BQN都是有一個角是60°的直角三角形，根據(jù)勾股定理可分別求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面積公式求出四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)題意確定一個等量關(guān)系，列出方程即可解得t的值，然后看是否滿足0＜t＜4．
點評：本題綜合考查了正三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，把函數(shù)和面積融合在一起，比較復(fù)雜，檢測學生的計算能力．