Question

已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB交⊙O于G、H兩點，AC交⊙O于F、E兩點，GH=FE，BH=CE．
（1）如圖1，求證：AO垂直平分BC；
（2）如圖2，BF與CG交于點M，連接AM，并延長分別交GF、BC于點N、D，若BH=1，GH=3，GA=2，求

MN

MD

的值；
（3）在圖3中，若⊙O與底邊BC相切于中點D，點G、F分別為AB、AC的中點，請你找出與EF相等的線段，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）作OP⊥EF于P，OQ⊥GH于Q；易得OA平分∠BAC；又根據等腰三角形的性質，可得AO垂直平分BC；
（2）根據題意，易得

AG

AB

=

AF

AC

，進而可得GF∥BC；根據平行線的性質，可得

MN

MD

的值等于

1

3

；
（3）根據題意，易得DF∥AB，根據平行線的性質可得∠1=∠A=36°，∠CDF=∠B=72°，再由切線長定理，可得∠3=36°，∠DEC=∠C=72°，故可得EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC．

解答：（1）證明：作OP⊥EF于P，OQ⊥GH于Q，（1分）
∵EF=GH（2分）
∴OP=OQ
∴OA平分∠BAC（3分）
∵AB=AC
∴AO垂直平分BC；（4分）

（2）解：∵AB=AC，BH=CE，HG=EF
∴AG=AF（5分）
∴

AG

AB

=

AF

AC

∴GF∥BC（6分）
∴

MN

MD

=

GM

MC

=

GF

BC

=

AG

AB

=

2

1+3+2

=

1

3

；

（3）解：EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC．（7分）（此處與最后一步為同一個得分點）
證明：∵G、F為AB、AC的中點，D是BC的中點，（8分）
∴GF=

1

2

BC=BD=DC
連接DF，（9分）
∴DF∥AB
∴∠1=∠A=36°，∠CDF=∠B=72°
∵BC切⊙O于D
∴∠1=∠2=36°（10分）
∴∠3=36°，∠DEC=∠C=72°（11分）
∴DC=DE=EF
同理：HG=DH=BD，而HG=EF
∴EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC．

點評：本題綜合考查函數、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質等知識．此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養同學的綜合分析，解決問題的能力．