Question

已知關于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根：
（2）若x₁，x₂是原方程的兩根，且|x₁-x₂|=2，求m的值，并求出此時方程的兩根．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據關于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b²-4ac的符號來判定該方程的根的情況；
（2）根據根與系數的關系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知條件“|x₁-x₂|=2”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，從而列出關于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
解答：（1）證明：∵△=（m+3）²-4（m+1）…1分
=（m+1）²+4…3分
∵無論m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程總有兩個不相等的實數根…4分

（2）∵x₁，x₂是原方程的兩根
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1…5分
∵|x₁-x₂|=2∴（x₁-x₂）²=（2）²
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8…7分
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8∴m²+2m-3=0…9分
   解得：m₁=-3，m₂=1…10分
   當m=-3時，原方程化為：x²-2=0
             解得：x₁=，x₂=-…11分
   當m=1時，原方程化為：x²+4x+2=0
             解得：x₁=-2+，x₂=-2-…12分
點評：本題考查了根與系數的關系、根的判別式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．