Question

如圖，AB為量角器（半圓O）的直徑，等腰直角△BCD的斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD切量角器于讀數為60°的點E處（即弧AE的度數為60°），第三邊交量角器邊緣于點F處．

 

（1）求量角器在點G處的讀數α（0°＜α＜90°）；

（2）若AB=10cm，求陰影部分面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）30°  ；（2）－

【解析】

試題分析：（1）連接OE，OF，先根據切線的性質可得OE⊥CD，再根據BD為等腰直角△BCD的斜邊，可得BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，即可證得OE∥BC，則有∠ABC=∠AOE=60°，即得∠ABG的度數，從而可以求得結果；

（2）先證得△OBF為正三角形，先根據陰影部分的面積等于扇形OBF的面積-三角形OBF的面積，結合扇形的面積公式及三角形的面積公式求解即可.

（1）連接OE，OF

∵CD切半圓O于點E

∴OE⊥CD，

∵BD為等腰直角△BCD的斜邊，

∴BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，

∴OE∥BC

∴∠ABC=∠AOE=60°，

∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°

∴弧AG的度數=2∠ABG=30°，

∴量角器在點G處的讀數α=弧AG的度數=30°  ；

（2）∵OF=OB=0.5AB=5cm，∠ABC=60°，

∴△OBF為正三角形，∠BOF=60°，

∴S_扇形=（cm²），S_△OBF=

∴S_陰影=S_扇形-S_△OBF=－

考點：切線的性質，等腰直角三角形的性質，圓周角定理，扇形、三角形的面積公式

點評：本題知識點較多，綜合性較強，是中考常見題，熟練掌握圓的相關性質是解題關鍵.