Question

已知二次函數y=ax²+2x+c，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	-5	0	3	4	3	…

（1）求這個二次函數的關系式；
（2）請判斷函數有最大值還是最小值，并寫出此時x的值與y的值；
（3）若y≥0，則x的取值范圍是______．
（4）若A（n，y₁）、B（n+1，y₂）兩點均在該函數的圖象上，試比較y₁與y₂的大小．

Answer 1

解：（1）由圖表可知拋物線y=ax²+2x+c過點（0，3），（1，4），代入解析式求出即可：
，
解得：，
∴二次函數的關系式為：y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3；
=-（x-1）²-4，
∴此函數有最大值，x=1時，y有最大值4；

（3）由表格中的值可以判斷當y=0或y＞0時，x的值在-1和3之間；
∴y≥0，則x的取值范圍是：-1≤x≤3；

（4）分別把A（n，y₁），B（n+1，y₂）兩點代入y=-x²+2x+3，
得到y₂-y₁=（-n²+4n+4）-（-n²+2n+3）=-2n+1，
當-2n+1＜0；-2n+1=0；-2n+1＜0時，
當n＞時，y₁＞y₂；
當n=，y₁=y₂；
當n＜時，y₁＜y₂．
分析：（1）當x=0或2時，y均等于3，那么此二次函數的對稱軸是1，則頂點坐標為（1，4），設出頂點式，把表格中除頂點外的一點的坐標代入可得a的值，也就求得了二次函數的值；
（2）根據二次項系數可得函數有最大值，此時的x，y為頂點坐標中相應的值；
（3）由表格中的值可以判斷當y=0或y＞0時x的值在-1和3之間；
（4）分別把A（n，y₁），B（n+1，y₂）兩點代入y=-x²+2x+3，得到y₂-y₁=（-n²+4n+4）-（-n²+2n+3）=-2n+1，然后討論：當-2n+1＜0；-2n+1=0；-2n+1＜0即可．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點求法以及函數比較大小，利用交點的橫坐標是二次函數的函數值為0時所對應的自變量和比較二次函數大小問題是考查重點．