Question

【題目】先閱讀下列材料，然后解答問題．

材料：從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線例如：如圖①，AD把△ABC分成△ABD與△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割線．

解答下列問題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割線，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，則∠CAD＝　 　度．

（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割線，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度數．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）∠BAC的度數為84°或111°

【解析】

（1）利用三角形的完美分割線定義可求解；

（2）分三種情況討論，由三角形的完美分割線定義和等腰三角形的性質可求解．

解：（1）∵AD是△ABC的完美分割線，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝40°

故答案為：40

（2）若BD＝AD，

∵AD是△ABC的完美分割線，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝42°

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠BAD＝42°

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°

若AB＝BD，

∴∠BAD＝69°＝∠BDA

∵∵AD是△ABC的完美分割線，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝42°

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°

若AB＝AD，

∴∠B＝∠ADB＝42°

∵AD是△ABC的完美分割線，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝42°

∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°

∴不存在AB＝AD，

綜上所述：∠BAC的度數為84°或111°