Question

（2008•赤峰）在平面直角坐標(biāo)系中給定以下五個(gè)點(diǎn)A（-3，0），B（-1，4），C（0，3），D（，），E（1，0）．
（1）請(qǐng)從五點(diǎn)中任選三點(diǎn)，求一條以平行于y軸的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸，并畫(huà)出草圖；
（3）已知點(diǎn)F（-1，）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，直線(xiàn)y=過(guò)點(diǎn)G（-1，）且垂直于對(duì)稱(chēng)軸．驗(yàn)證：以E（1，0）為圓心，EF為半徑的圓與直線(xiàn)y=相切．請(qǐng)你進(jìn)一步驗(yàn)證，以?huà)佄锞�(xiàn)上的點(diǎn)D（，）為圓心DF為半徑的圓也與直線(xiàn)y=相切．由此你能猜想到怎樣的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：首先用待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)的解析式，利用拋物線(xiàn)的公式求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線(xiàn)段EF、DF的長(zhǎng)，再與點(diǎn)E、D到直線(xiàn)的距離比較，得到點(diǎn)E和點(diǎn)D分別到點(diǎn)F的距離等于各自到直線(xiàn)的距離．
最后可猜想：以?huà)佄锞�(xiàn)上任意一點(diǎn)P為圓心，以PF為半徑的圓與直線(xiàn)y=相切．
解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，
且過(guò)點(diǎn)A（-3，0），C（0，3），E（1，0），
由（0，3）在y=ax²+bx+cH．
則c=3．
得方程組，
解得a=-1，b=-2．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x=-1．

（3）①連接EF，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)y=的垂線(xiàn)，垂足為N，
則EN=HG=．
在Rt△FHE中，HE=2，HF=，
∴EF=，
∴EF=EN，
∴以E點(diǎn)為圓心，EF為半徑的⊙E與直線(xiàn)y=相切．
②連接DF過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M．過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥GH垂足Q，
則DM=QG=．
在Rt△FQD中，QD=，QF==2．FD=．
∴以D點(diǎn)為圓心DF為半徑的⊙D與直線(xiàn)y=相切．
③以?huà)佄锞�(xiàn)上任意一點(diǎn)P為圓心，以PF為半徑的圓與直線(xiàn)y=相切．
說(shuō)明：解答題只提供了一種答案，如有其他解法只要正確，可參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按步驟賦分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法確定拋物線(xiàn)的解析式，及由拋物線(xiàn)的解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的方法；
第3問(wèn)利用構(gòu)造直角三角形，勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)，及定點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離的求法；
最后的猜想實(shí)際是說(shuō)明了拋物線(xiàn)是由到定點(diǎn)和定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的集合．