Question

已知x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的兩個實數根，且x₁+2x₂=3-．
（1）求x₁，x₂及a的值；
（2）求x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x₁+2x₂=3-與兩根之和公式、兩根之積公式聯立組成方程組即可求出x₁，x₂及a的值；
（2）欲求x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值，先把代此數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值即可求出x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值．
解答：解：（1）由題意，得，
解得x₁=1+，x₂=1-．
所以a=x₁•x₂=（1+）（1-）=-1；
（2）由題意，得x₁²-2x₁-1=0，即x₁²-2x₁=1
∴x₁³-3x₁²+2x₁+x₂
=x₁³-2x₁²-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂
=x₁-1+x₂
=（x₁+x₂）-1
=2-1
=1．
點評：若一元二次方程有實數根，則根與系數的關系為：x₁+x₂=-，x₁•x₂=，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．