Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，過點O、點B的直線解析式為y=x，OA、AB是方程x²-14x+48=0的兩個根，OB=BC，D、E分別是線段OC、OB上的動點（點D與點O、點C不重合），且∠BDE=∠ABO，設CD=x，BE=y．
（1）求BC和OC的長；
（2）求y與x的函數關系式；
（3）是否存在x的值，使以點B、點D、點E為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BM⊥OC于點M．先解方程x²-14x+48=0，得x₁=6，x₂=8，再根據直線OB的解析式為y=x，求出BM=8，OM=6，則由勾股定理得到BC=OB=10，由等腰三角形三線合一的性質得到OC=2OM=12；
（2）先由平行線的性質及已知條件證出∠BOC=∠BCO，再結合三角形外角的性質得到∠ODE=∠CBD，則△ODE∽△CBD，根據相似三角形對應邊成比例即可求出y與x的函數關系式；
（3）由于∠BED＞∠BOC=∠BDE，所以BD＞BE，當△BDE為等腰三角形時，分兩種情況討論：①DE=DB，②EB=ED．這兩種情況，都可以根據△ODE∽△CBD，對應線段成比例列出方程，求解即可．
解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8．
過點B作BM⊥OC于點M，
又∵過點O、點B的直線解析式為，
∴BM：OM=4：3，
∴BM=8，OM=6，
∴BC=OB=，OC=2OM=12；

（2）∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，
∵BO=BC，∴∠BOC=∠BCO，
∵∠BDE=∠ABO，∴∠BDE=∠BCO，
∵∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠CBD+∠BCO，∴∠ODE=∠CBD，
∴△ODE∽△CBD，∴OD：CB=OE：CD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x，
解得y=x²-x+10（0＜x＜12）；

（3）存在x₁=2，x₂=，使以點B、點D、點E為頂點的三角形為等腰三角形．理由如下：
∵∠BED＞∠BOC=∠BDE，∴BD＞BE，
當△BDE為等腰三角形時，分兩種情況：
①當DE=DB時，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=DE：BD=1，
∴（12-x）：10=1，
解得x=1；
②當EB=ED時，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=OE：CD=DE：BD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x=y：（12-x），
解得x=．
故存在x₁=2，x₂=，使以點B、點D、點E為頂點的三角形為等腰三角形．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理，一次函數的性質，綜合性較強，難度中等．其中第（2）問證出△ODE∽△CBD是關鍵，第（3）問運用分類討論思想是關鍵．