Question

如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點F，CD的中點G，連接GF．
（1）FG與DC的位置關系是______，FG與DC的數量關系是______；
（2）若將△BDE繞B點逆時針旋轉180°，其它條件不變，請完成下圖，并判斷（1）中的結論是否仍然成立？請證明你的結論．

Answer 1

解：（1）FG⊥CD，FG=CD．

（2）延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM，
∴四邊形BCMD是矩形．
∴CM=BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ED=BD=CM．
∵∠AEM=∠A=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中點，
∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．
∵在△EFD和△MFC中
，
∴△EFD≌△MFC．
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．
又∠EFD+∠DFM=90°，
∴∠MFC+∠DFM=90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中點，
∴FG=CD，FG⊥CD．
分析：（1）證FG和CD的大小和位置關系，我們已知了G是CD的中點，猜想應該是FG⊥CD，FG=CD．可通過構建三角形連接FD，FC，證三角形DFC是等腰直角三角形來得出上述結論，可通過全等三角形來證明；延長DE交AC于M，連接FM，證明三角形DEF和FMC全等即可．我們發現BDMC是個矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，這樣我們得出三角形AEM是個等腰直角三角形，F是斜邊AE的中點，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么這兩個角的補角也應當相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，這樣就構成了三角形DEF和CMF的全等的所有條件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面證直角．根據兩三角形全等，我們還能得出∠MFC=∠DFE，我們知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，這樣就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，FG=CD的結論了．
（2）和（1）的證法完全一樣．
點評：本題中通過構建全等三角形來證明線段和角相等是解題的關鍵．