Question

某中學有一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA=4米，O恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，當水流距離柱子的水平距離為1.5米時，達到最大高度6.25米，拋物線形狀如圖1所示．在圖2中建立直角坐標系，表示水流噴出的高度y（米）與x（米）之間的函數圖象．

（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？

Answer 1

解：（1）根據題意，拋物線的頂點坐標是（1.5，6.25），并且經過點（0，4），
設拋物線解析式為y=a（x-1.5）²+6.25，
則a（0-1.5）²+6.25=4，
解得a=-1，
故拋物線解析式為y=-（x-1.5）²+6.25，

（2）當y=0時，-（x-1.5）²+6.25=0，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
答：水池的半徑至少4米．
分析：（1）根據題意可知拋物線的頂點坐標是（1.5，6.25），并且經過點（0，4），設出頂點式解析式，利用待定系數法求解即可；
（2）把y=0代入拋物線解析式求出x的值，就是水池的半徑．
點評：本題主要考查了二次函數的應用與待定系數法求二次函數解析式，根據拋物線頂點式解析式求解更加簡便．