Question

如圖，點E在正方形ABCD的邊上，連接BE，將正方形折疊，使點B與點E重合，折痕GH交BC邊于點G，交AD邊于點H，若tan∠EBC=，AD+DE=15，則線段AH的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：由tan∠EBC=，可得BC=3CE，又由四邊形ABCD是正方形與AD+DE=15，即可求得CE，DE，BC的長，然后由勾股定理與折疊的性質，求得CG與GE的長，又由同角的余角相等與對頂角相等，求得∠A′FH=∠DFE=∠CEG，然后由三角函數，求得EF，A′F的長，繼而可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=∠A=90°，BC=CD=AD，
∵在Rt△BCE中，tan∠EBC=，
即=，
∴BC=3CE
∴DE=CD-CE=BC-CE=2CE，
∵AD+DE=15，
∴5CE=15，
∴CE=3，
即BC=AD=CD=9，DE=6，
由折疊的性質可得：A′H=AH，∠A′=∠A=90°，BG=GE，A′E=AB，
設CG=x，則GE=BG=BC-CG=9-x，
在Rt△CEG中，GE²=CG²+CE²，
即（9-x）²=x²+9，
解得：x=4，
∴CG=4，GE=5，
∵∠FEG=∠ABG=90°，
∴∠DFE+∠DEF=∠DEF+∠CEG=90°，
∴∠A′FH=∠DFE=∠CEG，
∴EF====，
∴A′F=A′E-EF=9-=，
∴A′H=A′F•tan∠A′FH=A′F•tan∠CEG=×=2，
∴AH=A′H=2．
故答案為：2．
點評：此題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理以及三角函數等知識．此題難度較大，注意數形結合思想與方程思想的應用，注意掌握折疊前后圖形的對應關系．