Question

【題目】如圖①，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖②，將圖①中的正方形改為的菱形，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論變?yōu)?/span>，請(qǐng)給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的邊與射線交于點(diǎn)，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)DF-DE=AD，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)得出角與線段的關(guān)系，易證得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出結(jié)論DE+DF=AD，
（2）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，利用菱形的性質(zhì)，可得出△MDP是等邊三角形，易證△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3））①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=AD，②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DF-DE=AD．

解：（1）∵正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，，．

∴，

∵，∴

∴，

∵

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

（2）方法一：如圖②，取的中點(diǎn)，連接，

∵四邊形為菱形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

又∵，

∴

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

∴，

方法二：如圖②，取的中點(diǎn)，連接，

∵四邊形為菱形，

∴，

∴，，，,

∴，

∴在中，，

又∵是的中點(diǎn)，∴，

∴，，

∴是等邊三角形，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

（3）

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，

①當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，方法同上可得：，

②當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，取AD中點(diǎn)M，連接PM，

如圖③，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等邊三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，

∴DF-DE=AD．