Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．
（1）若E是線段AC的中點，如圖1，易證：BE=EF（不需證明）；
（2）若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等邊對等角的性質可得∠F=∠CEF，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠F=30°，從而得到∠CBE=∠F，根據等角對等邊的性質即可證明；
（2）圖2，過點E作EG∥BC，交AB于點G，根據菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AG=AE，從而可以求出BG=CE，再根據等角的補角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
圖3，證明思路與方法與圖2完全相同．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是線段AC的中點，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；

（2）圖2：BE=EF．…（1分）
圖3：BE=EF．…（1分）
圖2證明如下：過點E作EG∥BC，交AB于點G，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等邊三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF； …（1分）
圖3證明如下：過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等邊三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF． …（1分）
點評：本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作出輔助線，利用等邊三角形的性質找出全等的條件是解題的關鍵．