Question

某飲料批發商銷售某種品牌的飲料，進價4元/瓶，售價8元/瓶．為了促銷，商家規定凡是一次性購買400瓶以上的，每多買1瓶，售價就降低0.0025元（例如：某人買500瓶飲料，于是每瓶降價0.0025×（500-400）=0.25元，就可以按7.75元/瓶的價格購買，總價為500×7.75=3875元），但是最低價為5元/瓶．
（1）求顧客一次至少買多少瓶，才能以最低價購買？
（2）寫出當一次購買400瓶以上（包括400瓶），總利潤y元與購買量x瓶之間的函數關系式．
（3）有一天，一位顧客買了1100瓶，另一位顧客買了1200瓶，商家發現賣了1200瓶反而比賣1100瓶賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多，最低價5元/瓶，至少要提高到多少？為什么？

Answer 1

分析：（1）當最低價5元/瓶時，每瓶降了（8-5）元，利用每多買1瓶，售價就降低0.0025元，表示出多買的瓶數，用多買的瓶數加400，即可得到以最低價購買顧客一次至少買的瓶數；
（2）設購買量為x瓶，則多買（x-400）瓶，每多買1瓶，售價就降低0.0025元，表示出降價的錢數，用售價-進價-降價的錢數，表示出每瓶的利潤，再由每瓶的利潤×購買的瓶數=總利潤，即可列出y與x的函數解析式；
（3）將（1）列出的y與x的二次函數解析式配方為頂點形式，利用二次函數的圖象與性質得出顧客一次買1000瓶時，商家的總利潤最高，當購買瓶數為1000～1600時，顧客買的越多，商家的總利潤反而越低，故求出顧客購買1000瓶時的價格，即為使每次賣的多賺錢也多，最低價5元/瓶，至少要提高的價格．

解答：解：（1）當顧客購買：400+（8-5）÷0.0025=1600瓶時，達到最低價格；

（2）當一次購買瓶數大于400，購買x瓶，
每瓶的利潤為：8-4-（x-400）×0.0025=5-0.0025x，
則總利潤y=x（5-0.0025x）=-0.0025x²+5x（400≤x≤1600）；

（3）y=-0.0025（x²-2000x）=-0.0025（x-1000）²+2500，
當x=1000時，y_最大=2500，
∴顧客一次買1000瓶時，商家的總利潤最高；
當購買瓶數為1000～1600時，顧客買的越多，商家的總利潤反而越低，
∴顧客購買1000瓶時，價格為：8-0.0025×（1000-400）=6.5元/瓶，
則超過1000元部分不宜再降價，應把最低價提至6.5元/瓶．

點評：此題考查了二次函數在實際生活中的應用，弄清題意，列出相應的代數式是解本題的關鍵．