Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，-2），交x軸于A、B兩點，其中A（-1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．
（1）求二次函數的解析式和B的坐標；
（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為C（0，-2），
∴b=0，c=-2；
∵y=ax²+bx+c過點A（-1，0），
∴0=a+0-2，a=2，
∴拋物線的解析式為y=2x²-2．
當y=0時，2x²-2=0，
解得x=±1，
∴點B的坐標為（1，0）；

（2）設P（m，n）．
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：
①若△OCB∽△DBP，則

OB

DP

=

OC

DB

，
即

1

n

=

2

m-1

，
解得n=

m-1

2

．
由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，
∴此時點P坐標為（m，

m-1

2

）或（m，

1-m

2

）（舍）；
②若△OCB∽△DPB，則

OB

DB

=

OC

DP

，
即

1

m-1

=

2

n

，
解得n=2m-2．
由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，
∴此時點P坐標為（m，2m-2）或（m，2-2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴（m，2m-2）或（m，2-2m）舍
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：（m，

m-1

2

），（m，2m-2）．

（3）假設在拋物線上存在第一象限內的點Q（x，2x²-2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形．
如圖，過點Q作QE⊥l于點E．
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP與△EPQ中，

∠BDP=∠PEQ=90° ∠DBP=∠EPQ BP=PQ

，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD=PE，DP=EQ．
分兩種情況：
①當P（m，

m-1

2

）時，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²-2），
∴

m-1=2x2-2- m-1 2 m-1 2 =m-x

，
解得

x1=1 m1=1

，

x2= 1 2 m2=0

（均不合題意舍去）；
②當P（m，2（m-1））時，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²-2），
∴

m-1=2x2-2-2(m-1) 2(m-1)=m-x

，
解得

x1=1 m1=1

，

x2=- 5 2 m2= 9 2

（均不合題意舍去）；
綜上所述，不存在滿足條件的點Q．