Question

國際數學奧林匹克（IMO）每天考3道題，每題的評分是0，1，2，3，4，5，6，7．有一群學生每人得分的乘積是36，而且任意兩人各題不完全相同．那么這群學生最多有多少人？

Answer 1

分析：先由每題的評分是0，1，2，3，4，5，6，7及這一群學生每人得分的乘積是36，可知每一道題的評分只可能是1，2，3，4，6，而不會有0，5，7，再將36分解成3個數的乘積，然后根據任意兩人各題得分不完全相同，即可求解．

解答：解：∵每天考3道題，每題的評分是0，1，2，3，4，5，6，7，有一群學生每人得分的乘積是36，
∴這一群學生每人每題的評分只可能是1，2，3，4，6，而不會有0，5，7，
∵36=2²×3²，
∴36=1×6×6=2×3×6=3×3×4．
∵任意兩人各題的得分不完全相同，
∴得分的乘積是1×6×6的學生可能是第一題得1分，第二題、第三題都得6分；可能是第二題得1分，第一題、第三題都得6分；可能是第三題得1分，第一題、第二題都得6分；一共三種情況，對應三個人；
同理，得分的乘積是2×3×6的學生最多可能有6人；得分的乘積是3×3×4的學生最多可能有3人；
∴這群學生最多有3+6+3=12（人）．
答：這群學生最多有12人．

點評：本題考查了質因數分解及排列組合，屬于競賽題型，有一定難度，根據題意得出本題是將36分解成大于0且小于7的3個正整數的乘積是解題的關鍵．