Question

如圖，已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，其頂點為D，且直線DC的解析式為y=x+3．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標；
（3）若點P是第一象限內拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線與直線CD的函數圖象交于y軸上的點C，那么這兩個函數的解析式中的常數項相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出拋物線的頂點坐標，而這個頂點恰好在直線CD上，因此代入直線CD的解析式中即可得到待定系數b的值，由此得解．
（2）△ABC的外心到三角形三個頂點的距離都相同，即為△ABC的外接圓半徑；因此先設出該外心的坐標，然后表示出三個半徑長，令它們相等即可，可據此思路解題．
（3）四邊形ACPB中，△ABC的面積是個定值，因此△CPB的面積最大時，四邊形的面積最大；可以過點P作y軸的平行線，交直線BC于點E，首先要求出線段PE的長度表達式，以PE為底、OB為高，即可得到△CPB的面積表達式，由此可得到關于四邊形ACPB面積的函數表達式，再根據函數的性質解題即可．
解答：解：（1）∵二次函數：y=-x²+bx+c的圖象與直線DC：y=x+3交于點C，
∴c=3，C（0，3）；
二次函數 y=-x²+bx+3中，頂點D （，），代入直線DC y=x+3中，得：
+3=，
解得 b₁=0（舍）、b₂=2；
故二次函數的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）；
設△ABC的外心M（x，y），則：
AM²=（x+1）²+y²、BM²=（x-3）²+y²、CM²=x²+（y-3）²；
由于AM=BM=CM，所以有：
，
解得
此時 AM=BM=CM=；
綜上，△ABC的外接圓半徑為，外心的坐標（1，1）．

（3）如右圖，過點P作PE∥y軸，交直線BC于點E；
由B（3，0）、C（0，3）知，直線BC：y=-x+3；
設點P（x，-x²+2x+3），則E（x，-x+3），
PE=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x；
則S_{四邊形ACPB}=S_△ACB+S_△CPB
=AB•OC+PE•OB
=×4×3+×（-x²+3x）×3
=-（x-）²+；
綜上，四邊形ACPB的最大面積最大值為．
點評：此題主要考查的是：函數解析式的確定、三角形的外接圓以及圖形面積的求法等知識；（3）題的解法較多，還可以過點P作x軸的垂線，將四邊形的面積分割成兩個小直角三角形以及一個直角梯形三部分，解此類題目要注意結合圖形，找出相關圖形間的面積和差關系，根據已知條件選擇簡便的解題方法．