Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上一點，且∠A=2∠DCB．E是BC邊上的一點，以EC為直徑的⊙O經過點D．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若CD的弦心距為1，BE=EO，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，如圖1所示，由OD=OC，根據等邊對等角得到一對角相等，再由∠DOB為△COD的外角，利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，等量代換可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中兩銳角互余，等量代換可得出∠B與∠ODB互余，即OD垂直于BD，確定出AB為圓O的切線，得證；
（2）法1：過O作OM垂直于CD，根據垂徑定理得到M為DC的中點，由BD垂直于OD，得到三角形BDO為直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，進而確定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠DOB為三角形DOC的外角，利用外角的性質及等量代換可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的長求出OC的長，進而確定出OD及OB的長，利用勾股定理即可求出BD的長；
法2：過O作OM垂直于CD，連接ED，由垂徑定理得到M為CD的中點，又O為EC的中點，得到OM為三角形EDC的中位線，利用三角形中位線定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的長求出ED的長，再由BE=OE，得到ED為直角三角形DBO斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由DE的長求出OB的長，再由OD及OB的長，利用勾股定理即可求出BD的長．
解答：（1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB為△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解法一：
過點O作OM⊥CD于點M，如圖1，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB為△ODC的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
∴∠DCB=30°，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，
∴在Rt△BDO中，根據勾股定理得：BD=2；

解法二：
過點O作OM⊥CD于點M，連接DE，如圖2，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，又O為EC的中點，
∴OM為△DCE的中位線，且OM=1，
∴DE=2OM=2，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∵Rt△BDO中，OE=BE，
∴DE=BO，
∴BO=BE+OE=2OE=4，
∴OD=OE=2，
在Rt△BDO中，根據勾股定理得BD=2．
點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，含30°直角三角形的性質，三角形的中位線定理，三角形的外角性質，以及直角三角形斜邊上的中線性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．