Question

如圖，在直角坐標平面中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸的負半軸上，cos∠ABC=，點P在線段OC上，且PO、OC的長是方程x²-15x+36=0的兩根．
（1）求P點坐標；
（2）求AP的長；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以A、Q、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過解方程x²-15x+36=0，得OP、OC的長度，即可推出P點的坐標，（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，推出Cos∠ABC==Cos∠ACO=，結合已知條件即可推出AP的長度，
（3）首先設出Q點的坐標，分情況討論，①AP∥CQ，然后根據(jù)，即可求出OQ的長度，即可得Q點的坐標，然后根據(jù)P和Q點的坐標即可推出直線PQ的解析式，②PQ∥AC，分別求出即可．
解答：解：（1）∵PO、OC的長是方程x²-15x+36=0的兩根，OC＞PO，
∴PO=3，OC=12（2分）
∴P（0，-3）（2分）

（2）在Rt△OBC與Rt△AOC中，cos∠ABC==cos∠ACO，
∴（1分）
設CO=4K，AC=5K，∴CO=4K=12，K=3
∴AO=3K=9，∴A（-9，0）（2分）
∴AP=（1分）

（3）設在x軸上存在點Q（x，0）使四邊形AQCP是梯形，
①AP∥CQ，∴，
∵OA=9，OP=3，OC=12，
∴OQ=36，則Q（-36，0），
設直線PQ的解析式為y=kx+b，將點P（0，-3），Q（-36，0）代入，得，
解得：，
②同理當PQ∥AC，可得PQ的解析式為：y=-x+3；
∴所求直線PQ的解析式為y=-x-3或y=-x+3．
點評：本題主要考查解整式方程、解直角三角形、勾股定理、平行線的相關性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式，關鍵在于確定P點的坐標；根據(jù)解直角三角形求得AP的長度；根據(jù)平行線的性質(zhì)，確定OQ的長度，確定Q點的坐標．