Question

①如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD．若∠ABC=60°，BC=12，則梯形ABCD的周長為

30

．
②如圖2，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB⊥AD，AD=DC=BC=2cm，那么梯形ABCD的面積是

3

3

cm²

．
③如圖3，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．則∠ABD的度數為

90°

；若AD=2，則對角線BD的長為

2

3

．

Answer 1

分析：①過D作DE∥AB交BC于E，得出平行四邊形和等邊三角形，推出AD=BE，DE=DC=EC，求出AD，即可求出答案；
②過D作DF⊥AB于F，求出∠DBA=30°，求出AB和高DF，即可求出梯形面積；
③求出∠A=∠ABC，求出∠DBA=30°，即可求出∠ADB=90°，根據AD求出AB，根據勾股定理求出BD即可．

解答：解：①過D作DE∥AB交BC于E，
∵DE∥AB，AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE，AD=BE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C=60°，AB=DC=DE，
∴△DEC是等邊三角形，
∴EC=DE=DC，
∵AB=AD=CD，BC=12，AD=BE，EC=DC，
∴BE=EC=6，
∴AD=6=AB=DC，
∴梯形ABCD的周長是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30，
故答案為：30．

②∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠CBA，
∵DC∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠CBD=∠DBA=

1

2

ABC=

1

2

∠A，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBA=90°，
∴∠A=60°，∠DBA=30°，
∴AB=2AD=4cm，
過D作DF⊥AB于F，
∵∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=

1

2

AD=1cm，
由勾股定理得：DF=

22-12

=

3

（cm），
∴梯形ABCD的面積是

1

2

×（CD+AB）×DF=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

（cm²）
故答案為：3

3

cm²．

③∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠ABD，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，∠A=60°，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠DBA=30°，
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°，
∵∠ADB=90°，∠DBA=30°，AD=2，
∴AB=2AD=4，由勾股定理得：BD=

42-22

=2

3

，
故答案為：90°，2

3

．

點評：本題綜合考查了等腰梯形性質，平行四邊形的性質和判定，含30度角的直角三角形性質，勾股定理，三角形的內角和定理等知識點的運用．