Question

如圖，Rt△ABC在平面直角坐標系中，BC在x軸上，B（-1，0）、A（0，2），AC⊥AB．
（1）求線段OC的長．
（2）點P從B點出發以每秒4個單位的速度沿x軸正半軸運動，點Q從A點出發沿線段AC以個單位每秒速度向點C運動，當一點停止運動，另一點也隨之停止，設△CPQ的面積為S，兩點同時運動，運動的時間為t秒，求S與t之間關系式，并寫出自變量取值范圍．
（3）Q點沿射線AC按原速度運動，⊙G過A、B、Q三點，是否有這樣的t值使點P在⊙G上？如果有求t值，如果沒有說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△AOB∽△COA即可求得OC=4．
（2）分當P在BC上，Q在線段AC上時、當P在BC延長線上，Q在線段AC上時、當C、P、Q都在同一直線上利用△CQD∽△CAO求得t值即可．
（3）若點P在圓G上，因為AC⊥AB，所以BQ是直徑，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，則BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，得到有關t的式子求解即可．
解答：解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠ABO+∠ACO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ACO，∠ABO=∠OAC，
∴△AOB∽△COA，
∴=
∵B（-1，0）、A（0，2），
∴OA=2，OB=1，
∴，
∴OC=4；

（2）①當P在BC上，Q在線段AC上時，（0＜t＜）過點Q作QD⊥BC于D，
如圖所示，則CQ=2-t，CP=5-4t，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=CP•QD=（5-4t）（2-t），
即S=2t²-t+5（0＜t＜）；
②當P在BC延長線上，Q在線段AC上時（＜t＜2），過點Q作QD⊥BC于D，
如圖所示，則CQ=2-t，CP=4t-5，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=CP•QD=（4t-5）（2-t），
即S=-2t²+t-5（＜t＜2），
③當t=或t=2時C、P、Q都在同一直線上，S=0．

（3）若點P在圓G上，因為AC⊥AB，所以BQ是直徑，所以∠BPQ=90°，即PQ⊥BC，
則BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，
得，
解得，（不合題意，舍去）
所以當t=時，點P在圓G上．
（也可以在（2）的基礎上分類討論，利用相似求得）
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、坐標與圖形性質、勾股定理及圓周角定理的知識，綜合性比較強，難度較大．本題中重點滲透了方程思想．