Question

如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．
（1）求四邊形CEFB的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的長．

Answer 1

解：（1）由平移的性質得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四邊形AFBC為平行四邊形
S_△EFA=S_△BAF=S_△ABC=3
∴四邊形EFBC的面積為9；

（2）BE⊥AF
證明：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四邊形EFBA為菱形
∴BE⊥AF；

（3）如上圖，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
設BD=x，則AC=AB=2x
∵S_△ABC=3，且S_△ABC=AC•BD=•2x•x=x²
∴x²=3
∵x為正數
∴x=
∴AC=2．
分析：（1）根據平移的性質及平行四邊形的性質可得到S_△EFA=S_△BAF=S_△ABC，從而便可得到四邊形CEFB的面積；
（2）由已知可證得平行四邊形EFBA為菱形，根據菱形的對角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關系為垂直；
（3）作BD⊥AC于D，結合三角形的面積求解．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定，平移的性質，菱形的性質等知識點的綜合運用及推理計算能力．