Question

某公司試銷一種成本為30元/件的新產品，按規定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于80元/件，試銷中每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足下表中的函數關系．

x（元/件）	35	40	45	50	55
y（件）	550	500	450	400	350

（1）試求y與x之間的函數表達式；
（2）設公司試銷該產品每天獲得的毛利潤為S（元），求S與x之間的函數表達式（毛利潤=銷售總價-成本總價）；
（3）當銷售單價定為多少時，該公司試銷這種產品每天獲得的毛利潤最大？最大毛利潤是多少？此時每天的銷售量是多少？

Answer 1

分析：（1）方法一，根據圖中表格可知：每天的銷售單價x增加5元，銷售量y減少50件，故每天的銷售量y和銷售單價x之間為一次函數的關系，故可用待定系數法將y與x之間的函數表達式求出；方法二，設y與x之間滿足二次函數表達式，將表格中任意三個值代入，可將該函數求出；
（2）方法一，根據：毛利潤=（每件產品的銷售價-成本）×銷售量，可求出S與x之間的函數表達式；方法二，根據：毛利潤=銷售總價-成本總價，也可求出S與x之間的函數表達式；
（3）由（2）知，當x=-

b

2a

時，二次函數能取得極值．

解答：解：（1）解法1：設y與x之間的函數關系滿足y=kx+b
把x=40，y=500；x=50，y=400
分別代入上式得：

40k+b=500 50k+b=400

，
解得

k=-10 b=900

∴y=-10x+900
∵表中其它對應值都滿足y=-10x+900
∴y與x之間的函數關系為一次函數，且函數表達式為y=-10x+900（30≤x≤80）；
解法2：設y與x之間的函數關系滿足y=ax²+bx+c
把x=35，y=550；x=40，y=500；x=50，y=400分別代入上式
得

1225a+35b+c=550 1600a+40b+c=500 2500a+50b+c=400

解，得

a=0 b=-10 c=900

∴y=-10x+900
∵表中其它對應值都滿足y=-10x+900
∴y與x之間的函數關系為一次函數，且函數表達式為y=-10x+900（30≤x≤80）；

（2）方法1：毛利潤S=（x-30）•y
=（x-30）（-10x+900）
=-10x²+1200x-27000（30≤x≤80）
方法2：毛利潤S=xy-30y
=x•（-10x+900）-30×（-10x+900）
=-10x²+1200x-27000（30≤x≤80）；

（3）在S=-10x²+1200x-27000中
∵a=-10＜0，∴當x=-

1200

2×(-10)

=60時
∴S_最大=-10×60²+1200×60-27000=9000（元）
此時每天的銷售量為：y=-10×60+900=300（件）．
∴當銷售單價定為60元/件時，該公司試銷這種產品每天獲得的毛利潤最大，最大毛利潤是9000元，此時每天的銷售量是300件．

點評：本題主要考查待定系數法，函數、方程的數學思想，考查分析、探究、解決實際問題的能力及數學應用意識．